Im Jahr 1994 ereignete sich ein bedeutender Fortschritt in der Mathematik. Der Mathematiker Andrew Wiles gelang es, den seit über drei Jahrhunderten ungelösten Satz von Fermat endlich zu beweisen. Dieser Satz ist ein zentrales Problem der Zahlentheorie und der Beweis wurde nicht nur von Mathematikern bewundert, sondern trat auch als großes Thema auf der Titelseite der The New York Times in Erscheinung.
Um diesen Rekord aufzustellen, musste Wiles jedoch zunächst eine tiefere, zwischenzeitliche Aussage beweisen, wobei er sich die Unterstützung des Mathematikers Richard Taylor sicherte. Dieser Beweis hatte weitreichendere Implikationen, die über das Problem von Fermat hinausgingen.
Der zwischenzeitliche Beweis zeigte, dass eine wichtige Klasse von Gleichungen, die als elliptische Kurven bekannt ist, stets mit einem ganz anderen mathematischen Objekt, den sogenannten modularen Formen, verbunden ist. Wiles und Taylor haben die Verbindung zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik eröffnet und gezeigt, dass sich diese Welten wie verzerrte Spiegelbilder gegenseitig reflektieren. Wer also Verständnis für elliptische Kurven erlangen will, kann in die Welt der modularen Formen eintauchen, deren Spiegelbilder erforschen und die erlangten Erkenntnisse in die Welt der elliptischen Kurven zurücktragen.
Eine herausfordernde Vermutung
Diese Verbindung, die als „Modularität“ bezeichnet wird, war nicht nur der Schlüssel für Wiles‘ Beweis des Fermatschen letzten Satzes. Viele andere Mathematiker haben diese ebenfalls genutzt, um zahlreiche bisher ungelöste Probleme voranzutreiben.
Darüber hinaus bildet die Modularität das Fundament einer Vielzahl von großen Vermutungen, die den Langlands-Programm ausmachen, einem ehrgeizigen Bestreben, eine einheitliche Theorie der Mathematik zu entwickeln. Sollten diese Vermutungen tatsächlich zutreffen, werden nicht nur elliptische Kurven, sondern auch alle Arten von Gleichungen in Beziehung zu Objekten aus der Welt der Spiegelbilder stehen. Mathematiker könnten dann zwischen diesen beiden Welten frei navigieren und zahlreiche weitere Fragen beantworten.
Dennoch war es bereits eine äußerst herausfordernde Aufgabe, die Korrelation zwischen elliptischen Kurven und modularen Formen zu beweisen. Viele Forscher hielten es für unmöglich, auch komplexere Zusammenhänge herzustellen.
Doch ein Team von vier Mathematikern widerlegte diese Annahme. Im Februar 2025 gelang es ihnen, die Modularitätsverbindung auf „Abelsche Flächen“, eine noch komplexere Art von Gleichungen, auszudehnen. Das Forschungsteam, bestehend aus Frank Calegari von der University of Chicago, George Boxer und Toby Gee vom Imperial College London sowie Vincent Pirouani vom CNRS Frankreich, bewies, dass alle Abelschen Flächen einer bestimmten Klasse immer mit modularen Formen korrespondieren.
„Wir Mathematiker glauben grundsätzlich, dass all diese Vermutungen zutreffen, aber zu sehen, wie sie tatsächlich bewiesen werden, ist wirklich aufregend“, erklärte die Mathematikerin Ana Karayani vom Imperial College London. „Und es geschah bei Fällen, die lange Zeit für unerreichbar hielten.“
Dies ist erst der Beginn einer jahrelangen Erkundung. Das ultimative Ziel der Mathematiker besteht darin, die Modularität für alle abelschen Flächen zu demonstrieren. Dennoch kann dieser Erfolg als Unterstützung bei der Lösungsfindung vieler ungelöster Probleme dienen, ähnlich wie der Beweis der Modularität für elliptische Kurven neue Forschungswege entblätterte.
Ein Blick in die Spiegelwelt
Elliptische Kurven sind ein besonders grundlegender Typus von Gleichungen, der lediglich zwei Variablen, x und y, benutzt. Ihre Lösungen erscheinen als scheinbar einfache Kurven, jedoch weisen diese Lösungen eine reichhaltige und komplexe Beziehung zueinander auf, die in vielen bedeutsamen Problemen der Zahlentheorie auftritt. Zum Beispiel ist die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung, als eines der am schwierigsten zu lösenden ungelösten Probleme in der Mathematik, Bekanntschaft mit den Eigenschaften der Lösungen elliptischer Kurven.
Die direkte Untersuchung elliptischer Kurven gestaltet sich als herausfordernd. Daher wählen Mathematiker manchmal einen anderen Ansatz.
Hierbei kommt die modularen Form ins Spiel. Modulare Formen sind Funktionen mit hoher Symmetrie, die in der Analyse erscheinen, obwohl sie zunächst als scheinbar unzusammenhängend betrachtet werden. Dank ihrer reichen Symmetrie haben sie sich als relativ einfach zu behandelndes Objekt für Mathematiker erwiesen.
Ursprünglich wurde nicht angenommen, dass es eine Beziehung zwischen diesen beiden gibt. Doch durch den Beweis von Taylor und Wiles wurde klar, dass alle elliptischen Kurven mit spezifischen modularen Formen korrelieren. Beide haben gemeinsame Eigenschaften, etwa die Mengen von Zahlen, die die Lösungen der elliptischen Kurven beschreiben, die auch in den entsprechenden modularen Formen erscheinen. So konnte der Zugang zu neuen Einsichten in die elliptischen Kurven durch die modularen Formen gefunden werden.
Mathematiker glauben, dass der Modularitätsbeweis von Taylor und Wiles lediglich ein Beispiel für eine universelle Tatsache ist. Es existieren Klassen noch weitreichender mathematischer Objekte, die ebenfalls ein Spiegelbild in der Welt der symmetrischen Funktionen wie modularen Formen besitzen sollten. Dies bildet den Kern des Langlands-Programms.
Da die elliptischen Kurven nur zwei Variablen, x und y, beinhalten, können sie auf einer Ebene dargestellt werden. Allerdings führt die Hinzufügung einer weiteren Variablen z zu einer Fläche in einem dreidimensionalen Raum. Dies ist bekannt als Abelsche Fläche, die eine komplexere Entität darstellt. Wie die elliptischen Kurven haben ihre Lösungen ebenfalls eine filigrane Struktur, deren Verständnis Mathematiker stets angestrebt haben.
Es erschien natürlich, dass Abelsche Flächen auch mit komplexeren Arten von modularen Formen korrelieren. Doch mit nur einer zusätzlichen Variable lässt sich die Entität und ihre Lösungen weitaus schwieriger konstruieren. Es wurde als fast unmöglich erachtet, die Gültigkeit des Modularitätsbeweises für Abelsche Flächen zu beweisen. „Es wurde gesagt, dass das nicht machbar ist, da bereits viele erfolglos versucht haben, dies zu tun“, berichtete Gee.
Dennoch wählte das Team um Boxer, Calegari, Gee und Pirouani die Herausforderung.
Einen Brückenschlag finden
Alle vier waren in die Forschung zum Langlands-Programm involviert. „Wir wollten eine der Vermutungen über reale Objekte beweisen, die tatsächlich existieren, nicht über abstrakte mathematische Konzepte, die unereichbar scheinen“, erklärte Calegari.
Abelsche Flächen sind (zumindest für Mathematiker) reale Objekte und die Bewiesene Modularität könnte eine neue Tür zur Mathematik öffnen. „Mit diesem Beweis könnten viele Dinge möglich werden, die sonst unmöglich geblieben wären“, so Calegari.
2016 begann das Team mit der Zusammenarbeit und versuchte die Schritte der Beweise zu wiederholen, die Taylor und Wiles bei elliptischen Kurven unternommen hatten. Doch jeder Schritt stellte sich als bedeutend komplexer für Abelsche Flächen heraus.
So konzentrierten sie sich auf eine relativ handhabbare spezifische Art, die als „gewöhnliche Abelschen Flächen“ bezeichnet wird. Diese Flächen haben eine Menge von Zahlen, die die Struktur der Lösungen beschreiben; wenn sie zeigen können, dass diese Menge auch aus den modularen Formen abgeleitet werden kann, wird der Beweis vollendet. Diese Zahlen funktionieren wie Tags und verbinden jede Abelsche Fläche eins zu eins mit den modularen Formen.
Das eigentliche Problem war jedoch, dass es zwar einfach ist, die Zahlen für spezifische abelsche Flächen zu berechnen, jedoch unklar war, wie man die passenden modularen Formen konstruieren konnte, die dasselbe Tag besaßen. Selbst unter engen Bedingungen war es unvorstellbar schwierig, modulare Formen zu konstruieren. „Wir wussten nicht einmal, ob das gesuchte Objekt tatsächlich existiert“, merkte Pirouani an.
Folglich entschied sich das Team, dass es ausreichend sein würde, die modularen Formen im „schwachen Sinn“ konstruieren zu können, sodass die Zahlen der modularen Formen in den sogenannten „Uhrengleichungen“ gleichwertig waren.
Stellen Sie sich eine Uhr vor: Wenn der Stundenzeiger auf 10 zeigt und vier Stunden verstreichen, zeigt sie 2. In Uhrengleichungen ist es jedoch nicht erforderlich, dass die Basis 12 wie bei herkömmlichen Uhren ist, sondern kann beliebig gewählt werden.
In diesem Fall mussten Boxer, Calegari, Gee und Pirouani lediglich zeigen, dass zwei Zahlensammlungen im Rahmen der „Uhr“, die nur bis 3 zählte, übereinstimmten. Bei diesem Ansatz könnten sie die modularen Formen, die den spezifischen Abelschen Flächen entsprechen, flexibler konstruieren.
Trotzdem war es weiterhin äußerst kompliziert.
Zu diesem Zeitpunkt entdeckte das Team einen Schatz an modularen Formen, deren Zahlen leicht zu berechnen waren, jedoch nur dann, wenn die Definition auf einer Uhr mit maximal dem Zahlenbereich 2 basierte. Für abelsche Flächen benötigten sie jedoch eine Uhr mit einem Zahlenbereich von 3.
Es gab einige Ideen, wie man eine grobe Brücke zwischen diesen beiden verschiedenen Uhren schlagen könnte. Doch es gab keinen strengen Weg, um die modulare Form zur vollkommenen Entsprechung der Abelschen Fläche herzustellen. Zu diesem Zeitpunkt wurde eine völlig neue mathematische Entdeckung veröffentlicht, die der Team dringend brauchte.
Unerwartete Hilfe
Im Jahr 2020 veröffentlichte der Zahlentheoretiker Liu Pang einen Beweis, der mit modularen Formen in Verbindung stand. Anfangs schien dies für die Forschung des Teams nicht relevant zu sein. Doch sofort wurde klar, dass die von Pang entwickelte Technik tief mit ihren zielen verknüpft war. „Es war etwas, das ich nicht erwartet hatte“, reflektierte Pang.
Das Team traf sich über Zoom und wendete Pang’s Methoden an, um ihre Forschung über mehrere Jahre hinweg voranzutreiben. Dennoch blieben einige große Hindernisse. Im Sommer 2023 ergriffen Boxer, Gee und Pirouani die Gelegenheit eines in Bonn, Deutschland, stattfindenden Kongresses, um sich dort direkt zu treffen. Das einzige Problem war, dass Calegari zur gleichen Zeit eine Vortragsreise nach China geplant hatte. Doch eine frustrierende Erfahrung an der chinesischen Botschaft in Chicago trieb ihn zur Umplanung. „Nach acht Stunden des Verfahrens wurde mein Visum abgelehnt, und mein Auto wurde in der Zwischenzeit abgeschleppt“, berichtete Calegari. So entschied er sich, die Reise zu streichen und Deutschland zu treffen.
Gee sicherte für das Team ein Zimmer im Hausdorff-Institut, um ungestört von anderen Mathematikern zu arbeiten. Dort arbeiteten sie eine ganze Woche lang an Pang’s Theorem. Jeden Tag arbeiteten sie zwölf Stunden und der einzige Grund für das Verlassen des Raumes war, um Kaffee zu holen. „Nach der Kaffeepause sagte ich immer im Scherz, dass ich zurück ins Bergwerk muss“, erzählte Pirouani.
Diese harte Arbeit zahlt sich aus. „Es gab danach noch viele Wendungen, aber am Ende dieser Woche fühlte ich, dass ich einen groben Entwurf fertiggestellt hatte“, meinte Calegari.
Es dauerte jedoch noch anderthalb Jahre, bis diese Überzeugung in einen 230 Seiten umfassenden Beweis umgesetzt werden konnte. Im Februar 2025 veröffentlichten sie schließlich ihren Beweis online, durch den bewiesen wurde, dass es für jede gewöhnliche Abelsche Fläche eine entsprechende modulare Form gibt.
Die neue Tür, die diese vier geöffnet haben, könnte eines Tages die Tiefe der Erkenntnisse teilen, die Taylor und Wiles entdeckt haben, und könnte die Rätsel der Abelschen Flächen in einem bisher unvorstellbaren Ausmaß lüften. Allerdings muss zunächst dieser Beweis auch auf die untypischen Abelschen Flächen ausgeweitet werden. Das Team setzt diese Erkundung in Zusammenarbeit mit Pang fort. „In zehn Jahren werden wir wahrscheinlich fast alles entdeckt haben“, sagte Gee.
Dank dieser Forschung sind Mathematiker nun in der Lage, neue Vermutungen aufzustellen. Ein Beispiel ist die verwandte Vermutung über Abelsche Flächen zur Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung für elliptische Kurven. „Zumindest mittlerweile wissen wir, dass diese verwandte Vermutung bezüglich gewöhnlicher Abelschen Flächen von Bedeutung sein kann, was zuvor nicht der Fall war“, erklärte Andrew Sutherland, Mathematiker am Massachusetts Institute of Technology.
„Viele frühere Träume sind nun durch diesen Satz greifbar geworden“, fügte er hinzu. „Die Situation wird sich von hier aus ändern.“
Dieser Artikel wurde mit Erlaubnis von Quanta Magazine, das von der Simons Foundation betrieben wird (die Redaktion ist unabhängig von der Stiftung), veröffentlicht. Die Stiftung hat sich zum Ziel gesetzt, das öffentliches Verständnis von Wissenschaft durch die Berichterstattung über Forschung und Trends in Mathematik, Physik und Lebenswissenschaften zu vertiefen.
